Пусть в эксперименте проводятся повторные испытания по схеме Бернулли и число испытаний велико , вероятность появления наблюдаемого события в одном испытании мала , а параметр является постоянной величиной. Тогда для вероятности - вероятности того, что событие в испытаниях появится раз, справедливо соотношение

. (3.1)

При вычислении вероятности в таком случайном эксперименте можно использовать приближенную формулу

, (3.2)

которая называется формулой Пуассона, а число - параметром Пуассона.

Задача 3.1. Вероятность брака при изготовлении некоторого изделия равна 0,008. Найти вероятность того, что при контроле среди 500 изделий будет не более двух бракованных.

Решение: поскольку вероятность мала, а число испытаний велико, то можно применить формулу Пуассона с параметром . Искомая вероятность является вероятностью суммы трех событий: бракованных изделий оказалось два, одно или ни одного. Поэтому

Определение 3.1

Потоком событий называется последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени.

Например , потоком событий будут вызовы, поступающие на АТС, сигналы при сеансе радиосвязи, сообщения, поступающие на сервер, и.т.д.

Определение 3.2

Поток событий называется пуассоновским (простейшим) если он обладает следующими свойствами:

1. Свойством стационарности , т.е. интенсивность потока - постоянная.

2. Свойством ординарности, т.е. появление двух или более событий за малый промежуток практически невозможно.

3. Свойством отсутствия последействия, т.е. вероятность появления событий за промежуток времени не зависит от того, сколько событий появилось на любом другом участке.

Если обозначить - вероятность появления событий пуассоновского потока c интенсивностью за время , то справедлива формула:

. (3.3)

Задача 3.2. Страховая компания обслуживает 10000 клиентов. Вероятность того, что в течение одного дня клиент обратится в компанию, равна 0,0003. Какова вероятность того, что в течение двух дней в нее обратятся 4 клиента?

Решение: Интенсивность потока клиентов в течение одного дня равна

Следовательно, .

Решение задач 3.1 и 3.2 в среде Mathcad показано на рис. 3.

Задача 3.3. Вероятность сбоя считывающего устройства турникета метрополитена в течение часа мала. Найти эту вероятность, если вероятность того, что за 8 часов будет хотя бы один сбой, равна 0,98, и если известно, что за час через турникет проходит в среднем 1000 человек?

Решение: По формулам (1.3) и (3.3) при вероятность того, что в течение 8 часов будет хотя бы один сбой, равна:

С помощью символьных команд, а затем определяется искомая вероятность .

Эффективность работы АЗС в значительной мере определяется степенью исправности топливораздаточных колонок (ТРК). Предположим, что на ТРК действует пуассоновский поток

Рассмотрим особенности построения каждого из уровней. Практически наиболее часто входящие потоки требований предполагаются пуассоновскими /47, 70, 74, 80/. Пуассоновские потоки характеризуются стационарностью, ординарностью и отсутствием последействия. Рассмотрим эти свойства.

В рассматриваемой макромодели входящие потоки требований в общем обладают свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия. Пуассоновский поток полностью описывается одним параметром - интенсивностью потока Я. Приближенная формула для Я имеет вид

В простейшем случае (пуассоновский поток) вероятность появления требования в любой малый промежуток времени пропорциональна длине этого промежутка и не зависит от того, возникали или нет требования в предшествующие промежутки времени.

Так как мы рассматриваем однородный пуассоновский поток судов с интенсивностью ц, то совместное выполнение равенств

Y(t) = k и Y(T-t)= q-k (это следует из отсутствия последействия в пуассоновском потоке). Поэтому

Поток, получаемый в результате случайного разрежения или объединения пуассоновских потоков, также является пуассоновским.

Например, при аналитическом описании потока данных это может быть пуассоновский поток требований, обладающий ординарностью, стационарностью и отсутствием последействия. Это может быть поток с равномерным распределением требований. Если распределение задается эмпирическими данными, значения 7i1 7i2,. .., щ могут быть элементами гистограмм и т.п.

Часто встречаются преобразования, требующие объединения потоков, поступающих по различным входам. В этом случае выходной сигнал может представлять объединение этих потоков в один с другими характеристиками. Например, если по двум входам в блок С поступают пуассоновские требования, то выходной сигнал может представлять собой также пуассоновский поток с параметром, равным сумме параметров исходных потоков.

Пусть единичные платежи следуют друг за другом через случайные промежутки времени, распределенные по показательному закону с параметром Я > 0 (пуассоновский поток платежей), дифференциальная функция распределения которого имеет вид

Для нестационарного пуассоновского потока закон распределения промежутка / уже не является показательным, так как зависит от положения на оси Ot и вида зависимости Я(7). Однако для некоторых задач при сравнительно небольших изменениях Я(0 его можно приближенно считать показательным с интенсивностью Я, равной среднему значению Я(0-

Таким образом, для исследуемой системы S с дискретными состояниями и непрерывным временем переходы из состояния в состояние происходят под действием пуассоновских потоков событий с определенной интенсивностью Я.

В рассматриваемой модели емкость следует считать ограниченной. Входящий поток требований исходит из ограниченного числа эксплуатируемых машин (N - k), которые в случайные моменты времени выходят из строя и требуют обслуживания. При этом каждая машина из (N - k) находится в эксплуатации. Генерирует пуассоновский поток требований с интенсив-

Представим автомобиль как некоторую систему S с дискретными состояниями iSj,. 2. .... Sn, которая переходит из состояния S/ в состояние Sj(i - 1, 2,. .., n,j = I, 2,. .., и) под воздействием пуассоновских потоков событий (отказов) с интенсивностями Хд. Будем рассматривать следующие состояния автомобиля, в которых он может находиться в процессе эксплуатации и которые характеризуются целодневными простоями

Пуассоновский поток событий 53

Заметим, что, в то время как сам пуассоновский поток k (t) наступлений обстоятельств, влекущих ликвидацию счета вкладчиком, является в рамках нашей модели ненаблюдаемым, вероятность q (tu,t) сохранения счета и ожидаемая продолжительность XI1 = Mt - 10 существования счета могут быть оценены, в принципе, по наблюдаемым статистическим данным. Имея же статистические оценки т - 10 и 4-(tu,t) для величин Мт - 0 и q (t0,t), легко получить оценки Л. =(т. -)" и Х =-(i-t0) ln (0 0 для параметра Л ненаблюдаемого пуассоновского процесса. Оцениваемый таким образом параметр Х имеет смысл ожидаемого числа появлений в единицу времени обстоятельств, влекущих закрытие счета.

Процесс рождения популяции предпринимателей или новых предпринимателей таким образом можно рассматривать как простейший пуассоновский поток.

Для простейшего пуассоновского потока вероятность того, что за время г произойдет ровно т событий, равна

Определение 5.8. Стационарный пуассоновский поток называется простейшим.

Рассмотрим нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью Mf), некоторый промежуток времени длиной г>0, начинающийся с момента t0 (и заканчивающийся, следовательно, в момент +г) и дискретную случайную величину Х р г) - число событий, наступающих в потоке за промежуток времени от ta до t0+r.

Следствие 6.1. В нестационарном пуассоновском потоке с интенсивностью A(t) вероятность того, что за промежуток времени от t0 до t0+r

Определение 6.2. Элементом вероятности появления события в нестационарном пуассоновском потоке называется вероятность >,(АО появления события за элементарный (достаточно малый) промежуток времени от t0 до t0+bt.

Теорема 6.2. Для элемента вероятности появления события за элементарный промежуток времени от t0 до t0+Af в нестационарном пуассоновском потоке с интенсивностью A(t) имеет место приближенная формула

Интенсивность нестационарного пуассоновского потока A(t)

Однако в последние года доказано, "что если на систему обслуживания, состоящую из /7 приборов поступает пуассоновский поток интенсивности /I и длительность обслуживания подчинена совершенно произвольному закону распределения Ц (ЭС), математическое овдание которого I/ с, то для предельных вероятностей Р, сохраняет свою силу формула (36), . Следовательно в стационарном режиме вероятности /. зависят не от особенностей распределения вероятностей длительности обслуживания, а только от средней длительности обслуживания... як

Рассмотрим решение такой задачи в условиях Нефтекум-ского УБР. Анализ работы службы испытания позволил составить статистические ряды интенсивности сдачи скважин на испытание и продолжительности испытания. Изучение рядов позволило сделать вывод, что поток скважин, поступающих в испытание, является одинарным стационарным потоком без последствия, т. е. обладает свойствами пуассоновского потока. С достаточной степенью точности можно допустить, что время обслуживания распределяется по показательному закону . На основании статистических рядов составлены таблицы распределения интенсивности сдачи скважин на испытание (табл. 36)

Задача эта формулируется следующим образом поток требований - пуассоновский с интенсивностью Я длительность обслуживания распределена но показательному закону , причем средняя длительность обслуживания iAy. Если число обслуживающих устройств равно п, то при стационарном пуассоновском потоке требований вероятности Pt (t) (вероятности того, что в момент t обслуживанием, заняты I прибороь) близки к их предельным значениям (формула Эрлаша)

Если объединяются несколько независимых ординарных потоков с сопоставимыми интенсивностями, то с ростом числа слагаемых потоков объединенный поток приближается к простейшему с возможной нестационарностью. Если слагаемые потоки стационарны , то в пределе получается пуассоновский поток. Интенсивность объединенного потока равна сумме интенсивностей каждого из них.

Каждый из входящих в блок агрегатов является сложной системой , состоящей из большого числа элементов. Отказ каждого из них может привести к утрате способности выполнения поставленной задачи всего агрегата. Поток отказов агрегата во времени образуется в результате наложения множества событий - потоков отказов элементов, входящих в его состав. При решении практической задачи отказы в элементах можно рассматривать как независимые (или слабозависимые) и ординарные события, поэтому для суммарного потока отказов всего агрегата правомерно применение предельной теоремы потоков в теории случайных процессов . Данная теорема определяет условия, при которых сумма независимых (или слабо зависимых) ординарных потоков событий сводится к пуассоновскому распределению числа отказов агрегата на заданном промежутке времени т. Условия состоят в том, что складываемые потоки должны оказывать приблизительно одинаковое влияние на суммарный поток. В инженерной практике рекомендуется считать сумму более 5-7 потоков за пуассоновскии поток, если интенсивности этих потоков имеют одинаковый порядок. Данное утверждение основано на многократных исследованиях, проведенных методом статистических испытаний. Исходя из вышеизложенного, число отказов т каждого агрегата блока КЭС, возникающих за промежуток (/, М-т), имеет распределение вида

В период нормальной эксплуатации агрегата (на центральном участке) при решении практических задач часто полагают Я,(/)= Я = onst, т.е. принимают модель стационарного пуассоновского потока отказов. При этом формула (2.8.1) принимает вид

Согласно показателем безотказности блока КЭС принимается средняя наработка на отказ ТНБ, а показателем ремонтопригодности - среднее время восстановления работоспособного состояния после отказа ТВБ- Чтобы получить формулы для расчета этих показателей воспользуемся свойством

Если число n испытаний достаточно велико, а вероятность p наступления события А в независимых испытаниях мала, то для нахождения вероятности используется теорема Пуассона : Если в n независимых испытаниях вероятность p наступления события А в каждом из них постоянна и мала, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит k раз, вычисляется по формуле , где .

Эта формула называется формулой Пуассона .

Пример 15 . Вероятность попадания в самолёт при каждом выстреле из пулемёта равна 0.001. Производится 3000 выстрелов. Найти вероятность попадания в самолёт: а) один или два раза; б) хотя бы один раз.

Решение . По условию примера n =300, p =0.001, .

а) Обозначим событие A={попадание в самолёт один или два раза}. Тогда .

б) Обозначим событие B={попадание в самолёт хотя бы один раз}. Тогда .

Потоком событий называется последовательность событий, которые наступают одно за другим в случайные моменты времени.

Например, поток вызовов в сфере обслуживания (ремонт телевизоров, вызовы скорой помощи и др.), поток вызовов на телефонной станции, отказ в работе отдельных частей некоторой системы и т.д.

Поток называется простейшим , если выполняются следующие условия:

Вероятность появления события зависит от длины промежутка времени t ;

Вероятность появления числа событий на любом промежутке времени не зависит от того, какое число событий наступило до начала этого промежутка;

Вероятность наступления двух или большего числа событий за достаточно малый промежуток времени мала и чем меньше , тем меньше становится вероятность.

При выполнении этих условий справедливо следующее утверждение:

Вероятность того, что случайное событие за время t наступит k раз, определяется по формуле

где - среднее число событий, наступающих в единицу времени.

Пример 16 . На ткацких станках, обслуживаемых ткачихой, в течение часа происходит 90 обрывов нити. Какова вероятность того, что за 4 минуты произойдёт: 1) один обрыв; 2) хотя бы один обрыв.

Решение . По условию t =4. Среднее число обрывов за одну минуту равно . Тогда .

1) . 2) .

Вопросы для самоконтроля знаний

1. Что называется суммой совместных событий?

2. Что называется суммой несовместных событий?

3. Как формулируется теорема сложения вероятностей несовместных событий?

4. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?

5. Что называется произведением двух событий?

6. Какие события называются независимыми?

7. Как формулируется теорема умножения вероятностей независимых событий?

8. Какие события называются зависимыми?

9. Что называется условной вероятностью?

10. Как формулируется теорема умножения вероятностей зависимых событий?

11. Что называется полной вероятностью события и как записывается формула полной вероятности?

12. Как записывается формула Байеса?

13. Какие испытания называются независимыми и как записывается формула Бернулли?

14. Как формулируется локальная теорема Лапласа?

15. Как формулируется интегральная теорема Лапласа?

16. Как формулируется теорема Пуассона?

За эталон потока в моделировании принято брать пуассоновский поток .

Пуассоновский поток - это ординарный поток без последействия.

Как ранее было указано, вероятность того, что за интервал времени (t 0 , t 0 + τ ) произойдет m событий, определяется из закона Пуассона:

где a - параметр Пуассона.

Если λ (t ) = const(t ), то это стационарный поток Пуассона (простейший). В этом случае a = λ · t . Если λ = var(t ), то это нестационарный поток Пуассона .

Для простейшего потока вероятность появления m событий за время τ равна:

Вероятность непоявления (то есть ни одного, m = 0) события за время τ равна:

Рис. 28.2 иллюстрирует зависимость P 0 от времени. Очевидно, что чем больше время наблюдения, тем вероятность непоявления ни одного события меньше. Кроме того, чем более значение λ , тем круче идет график, то есть быстрее убывает вероятность. Это соответствует тому, что если интенсивность появления событий велика, то вероятность непоявления события быстро уменьшается со временем наблюдения.

Вероятность появления хотя бы одного события (P ХБ1С) вычисляется так:

так как P ХБ1С + P 0 = 1 (либо появится хотя бы одно событие, либо не появится ни одного, - другого не дано).

Из графика на рис. 28.3 видно, что вероятность появления хотя бы одного события стремится со временем к единице, то есть при соответствующем длительном наблюдении события таковое обязательно рано или поздно произойдет. Чем дольше мы наблюдаем за событием (чем более t ), тем больше вероятность того, что событие произойдет - график функции монотонно возрастает.

Чем больше интенсивность появления события (чем больше λ ), тем быстрее наступает это событие, и тем быстрее функция стремится к единице. На графике параметр λ представлен крутизной линии (наклон касательной).

Если увеличивать λ , то при наблюдении за событием в течение одного и того же времени τ , вероятность наступления события возрастает (см. рис. 28.4 ). Очевидно, что график исходит из 0, так как если время наблюдения бесконечно мало, то вероятность того, что событие произойдет за это время, ничтожна. И наоборот, если время наблюдения бесконечно велико, то событие обязательно произойдет хотя бы один раз, значит, график стремится к значению вероятности равной 1.

Изучая закон, можно определить, что: m x = 1/λ , σ = 1/λ , то есть для простейшего потока m x = σ . Равенство математического ожидания среднеквадратичному отклонению означает, что данный поток - поток без последействия. Дисперсия (точнее, среднеквадратичное отклонение) такого потока велика. Физически это означает, что время появления события (расстояние между событиями) плохо предсказуемо, случайно, находится в интервале m x – σ < τ j < m x + σ . Хотя ясно, что в среднем оно примерно равно: τ j = m x = T н /N . Событие может появиться в любой момент времени, но в пределах разброса этого момента τ j относительно m x на [–σ ; +σ ] (величину последействия). На рис. 28.5 показаны возможные положения события 2 относительно оси времени при заданном σ . В данном случае говорят, что первое событие не влияет на второе, второе на третье и так далее, то есть последействие отсутствует.

По смыслу P равно r (см. лекцию 23. Моделирование случайного события. Моделирование полной группы несовместных событий), поэтому, выражая τ из формулы (*) , окончательно для определения интервалов между двумя случайными событиями имеем:

τ = –1/λ · Ln(r ) ,

где r - равномерно распределенное от 0 до 1 случайное число, которое берут из ГСЧ, τ - интервал между случайными событиями (случайная величина τ j ).

Пример 1 . Рассмотрим поток изделий, приходящих на технологическую операцию. Изделия приходят случайным образом - в среднем восемь штук за сутки (интенсивность потока λ = 8/24 [ед/час]). Необходимо промоделировать этот процесс в течение T н = 100 часов. m = 1/λ = 24/8 = 3, то есть в среднем одна деталь за три часа. Заметим, что σ = 3. На рис. 28.6 представлен алгоритм, генерирующий поток случайных событий.

На рис. 28.7 показан результат работы алгоритма - моменты времени, когда детали приходили на операцию. Как видно, всего за период T н = 100 производственный узел обработал N = 33 изделия. Если запустить алгоритм снова, то N может оказаться равным, например, 34, 35 или 32. Но в среднем, за K прогонов алгоритма N будет равно 33.33… Если посчитать расстояния между событиями t сi и моментами времени, определяемыми как 3 · i , то в среднем величина будет равна σ = 3.

В предыдущих лекциях мы научились имитировать наступление случайных событий. То есть мы можем разыграть какое из возможных событий наступит и в каком количестве. Чтобы это определить, надо знать статистические характеристики появления событий, например, такой величиной может быть вероятность появления события, или распределение вероятностей разных событий, если типов этих событий бесконечно много.

Но часто еще важно знать, когда конкретно наступит то или иное событие во времени.

Когда событий много и они следуют друг за другом, то они образуют поток . Заметим, что события при этом должны быть однородными, то есть похожими чем-то друг на друга. Например, появление водителей на АЗС, желающих заправить свой автомобиль. То есть, однородные события образуют некий ряд. При этом считается, что статистическая характеристика этого явления (интенсивность потока событий) задана. Интенсивность потока событий указывает, сколько в среднем происходит таких событий за единицу времени. Но когда именно произойдет каждое конкретное событие надо определить методами моделирования. Важно, что, когда мы сгенерируем, например, за 200 часов 1000 событий, их количество будет равно примерно величине средней интенсивности появления событий 1000/200 = 5 событий в час, что является статистической величиной, характеризующей этот поток в целом.

Интенсивность потока в некотором смысле является математическим ожиданием количества событий в единицу времени. Но реально может так оказаться, что в один час появится 4 события, в другой 6, хотя в среднем получается 5 событий в час, поэтому одной величины для характеристики потока недостаточно. Второй величиной, характеризующей насколько велик разброс событий относительно математического ожидания, является, как и ранее, дисперсия. Собственно именно эта величина определяет случайность появления события, слабую предсказуемость момента его появления. Про эту величину мы расскажем в следующей лекции.

Поток событий это последовательность однородных событий, наступающих одно за другим в случайные промежутки времени. На оси времени эти события выглядят как показано на рис. 28.1 .

Примером потока событий могут служить последовательность моментов касания взлетной полосы самолетами, прилетающими в аэропорт.

Интенсивность потока λ это среднее число событий в единицу времени. Интенсивность потока можно рассчитать экспериментально по формуле: λ = N /T н , где N число событий, произошедших за время наблюдения T н .

Если интервал между событиями τ j равен константе или определен какой-либо формулой в виде: t j = f (t j 1) , то поток называется детерминированным . Иначе поток называется случайным .

Случайные потоки бывают:

ординарные : вероятность одновременного появления двух и более событий равна нулю;
стационарные : частота появления событий λ (t ) = const(t ) ;
без последействия : вероятность появления случайного события не зависит от момента совершения предыдущих событий.

Пуассоновский поток

За эталон потока в моделировании принято брать пуассоновский поток .

Пуассоновский поток это ординарный поток без последействия.

где a параметр Пуассона.

Если λ (t ) = const(t ) , то это стационарный поток Пуассона (простейший). В этом случае a = λ · t . Если λ = var(t ) , то это нестационарный поток Пуассона .

Для простейшего потока вероятность появления m событий за время τ равна:

Вероятность непоявления (то есть ни одного, m = 0 ) события за время τ равна:

Рис. 28.2 иллюстрирует зависимость P 0 от времени. Очевидно, что чем больше время наблюдения, тем вероятность непоявления ни одного события меньше. Кроме того, чем более значение λ , тем круче идет график, то есть быстрее убывает вероятность. Это соответствует тому, что если интенсивность появления событий велика, то вероятность непоявления события быстро уменьшается со временем наблюдения.

Вероятность появления хотя бы одного события (P ХБ1С ) вычисляется так:

так как P ХБ1С + P 0 = 1 (либо появится хотя бы одно событие, либо не появится ни одного, другого не дано).

Из графика на рис. 28.3 видно, что вероятность появления хотя бы одного события стремится со временем к единице, то есть при соответствующем длительном наблюдении события таковое обязательно рано или поздно произойдет. Чем дольше мы наблюдаем за событием (чем более t ), тем больше вероятность того, что событие произойдет график функции монотонно возрастает.

Если увеличивать λ , то при наблюдении за событием в течение одного и того же времени τ , вероятность наступления события возрастает (см. рис. 28.4 ). Очевидно, что график исходит из 0, так как если время наблюдения бесконечно мало, то вероятность того, что событие произойдет за это время, ничтожна. И наоборот, если время наблюдения бесконечно велико, то событие обязательно произойдет хотя бы один раз, значит, график стремится к значению вероятности равной 1.

Изучая закон, можно определить, что: m x = 1/λ , σ = 1/λ , то есть для простейшего потока m x = σ . Равенство математического ожидания среднеквадратичному отклонению означает, что данный поток поток без последействия. Дисперсия (точнее, среднеквадратичное отклонение) такого потока велика. Физически это означает, что время появления события (расстояние между событиями) плохо предсказуемо, случайно, находится в интервале m x σ < τ j < m x + σ . Хотя ясно, что в среднем оно примерно равно: τ j = m x = T н /N . Событие может появиться в любой момент времени, но в пределах разброса этого момента τ j относительно m x на [σ ; +σ ] (величину последействия). На рис. 28.5 показаны возможные положения события 2 относительно оси времени при заданном σ . В данном случае говорят, что первое событие не влияет на второе, второе на третье и так далее, то есть последействие отсутствует.

τ = 1/λ · Ln(r ) ,

где r равномерно распределенное от 0 до 1 случайное число, которое берут из ГСЧ, τ интервал между случайными событиями (случайная величина τ j ).

Пример 1 . Рассмотрим поток изделий, приходящих на технологическую операцию. Изделия приходят случайным образом в среднем восемь штук за сутки (интенсивность потока λ = 8/24 [ед/час] ). Необходимо промоделировать этот процесс в течение T н = 100 часов . m = 1/λ = 24/8 = 3 , то есть в среднем одна деталь за три часа. Заметим, что σ = 3 . На рис. 28.6 представлен алгоритм, генерирующий поток случайных событий.

На рис. 28.7 показан результат работы алгоритма моменты времени, когда детали приходили на операцию. Как видно, всего за период T н = 100 производственный узел обработал N = 33 изделия. Если запустить алгоритм снова, то N может оказаться равным, например, 34, 35 или 32. Но в среднем, за K прогонов алгоритма N будет равно 33.33 Если посчитать расстояния между событиями t сi и моментами времени, определяемыми как 3 · i , то в среднем величина будет равна σ = 3 .

Моделирование неординарных потоков событий

Если известно, что поток не является ординарным, то необходимо моделировать кроме момента возникновения события еще и число событий, которое могло появиться в этот момент. Например, вагоны на железнодорожную станцию прибывают в составе поезда в случайные моменты времени (ординарный поток поездов). Но при этом в составе поезда может быть разное (случайное) количество вагонов. В этом случае о потоке вагонов говорят как о потоке неординарных событий.

Допустим, что M k = 10 , σ = 4 (то есть, в среднем в 68 случаях из 100 приходит от 6 до 14 вагонов в составе поезда) и их число распределено по нормальному закону. В место, отмеченное (*) в предыдущем алгоритме (см. рис. 28.6 ), нужно вставить фрагмент, показанный на рис. 28.8 .

Пример 2 . Очень полезным в производстве является решение следующей задачи. Каково среднее время суточного простоя оборудования технологического узла, если узел обрабатывает каждое изделие случайное время, заданное интенсивностью потока случайных событий λ 2 ? При этом экспериментально установлено, что привозят изделия на обработку тоже в случайные моменты времени, заданные потоком λ 1 партиями по 8 штук, причем размер партии колеблется случайно по нормальному закону с m = 8 , σ = 2 (см. лекцию 25). До начала моделирования T = 0 на складе изделий не было. Необходимо промоделировать этот процесс в течение T н = 100 часов.

На рис. 28.9 представлен алгоритм, генерирующий случайным образом поток прихода партий изделий на обработку и поток случайных событий выхода партий изделий с обработки.

На рис. 28.10 показан результат работы алгоритма моменты времени, когда детали приходили на операцию, и моменты времени, когда детали покидали операцию. На третьей линии видно, сколько деталей стояло в очереди на обработку (лежало на складе узла) в разные моменты времени.

Отмечая для обрабатывающего узла времена, когда он простаивал в ожидании очередной детали (см. на рис. 28.10 участки времени, выделенные красной штриховкой), мы можем посчитать суммарное время простоев узла за все время наблюдения, а затем рассчитать среднее время простоя в течение суток. Для данной реализации это время вычисляется так:

T пр. ср. = 24 · (t 1 пр. + t 2 пр. + t 3 пр. + t 4 пр. + + t N пр.)/T н .

Задание 1 . Меняя величину σ , установите зависимость T пр. ср. (σ ) . Задавая стоимость за простой узла 100 евро/час, установите годовые потери предприятия от нерегулярности в работе поставщиков. Предложите формулировку пункта договора предприятия с поставщиками «Величина штрафа за задержку поставки изделий».

Задание 2 . Меняя величину начального заполнения склада, установите, как изменятся годовые потери предприятия от нерегулярности в работе поставщиков в зависимости от принятой на предприятии величины запасов.

Моделирование нестационарных потоков событий

В ряде случаев интенсивность потока может меняться со временем λ (t ) . Такой поток называется нестационарным . Например, среднее количество за час машин скорой помощи, покидающих станцию по вызовам населения большого города, в течение суток может быть различным. Известно, например, что наибольшее количество вызовов падает на интервалы с 23 до 01 часа ночи и с 05 до 07 утра, тогда как в остальные часы оно вдвое меньше (см. рис. 28.11 ).

В этом случае распределение λ (t ) может быть задано либо графиком, либо формулой, либо таблицей. А в алгоритме, показанном на рис. 28.6 , в место, помеченное (**), нужно будет вставить фрагмент, показанный на рис. 28.12 .

Другое