Близкой по идеям и методам к теории игр является теория статистических решений. От теории игр она отличается тем, что ситуация неопределенности не имеет конфликтной окраски – никто ни кому не противодействует, но налицо элемент неопределенности. В задачах теории статистических решений неизвестные условия операции зависят не от сознательно действующего противника, а от объективной действительности, которую в теории статистических решений принято называть “природой”. Соответствующие ситуации часто называют играми с природой (статистическими играми).

Часто эти ситуации вообще относят к теории игр, оговариваясь в определении игры, что одним из участников может быть среда (природа), действующая как сумма дезорганизующих обстоятельств, весь комплекс внешних условий, в которых игроку приходится принимать решение. Назовем этого игрока – статистиком.

Природа безразлична к выигрышу и не стремится обратить в свою пользу промахи статистика. Пусть статистик имеет m стратегий, а природа может реализовать n своих состояний. Если статистик имеет возможность оценить численно последствия каждой своей чистой стратегии при любом состоянии природы, то игру можно задать платежной матрицей. При упрощении платежной матрицы имеется специфика: нельзя отбрасывать те или иные стратегии “природы”, так как она может реализовать их вне зависимости от того, выгодны они статистику или нет.

При решении таких игр могут быть 2 ситуации:

· игроку А неизвестны вероятности pj , с которыми природа реализует свои состояния;

· вероятности pj известны.

Для принятия решения в таких играх используют различные критерии.

Если вероятности pj состояний природы неизвестны, то можно пользоваться критериями Вальда, Лапласа, Сэвиджа, Гурвица и пр. Основное различие между названными критериями определяется стратегией поведения лица, принимающего решение в условиях неопределенности. Например, критерий Лапласа основан на более оптимистичных предположениях, чем критерий Вальда. Критерий Гурвица можно использовать при различных подходах: от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного. Таким образом, перечисленные критерии, несмотря на их количественную природу, отражают субъективную оценку ситуации, в которой статистику приходится принимать решение. К сожаленью, не существует общих правил оценки применимости того или иного критерия, так как поведение лица, принимающего решение, по всей видимости, является наиболее важным фактором при выборе подходящего критерия. Сформулируем эти критерии.

1. Критерий Лапласа

Этот критерий опирается на принцип недостаточного обоснования , по которому считается, что наступление всех состояний природы равновероятно, то есть p 1 = p 2 =...= p n =1/ n , а оптимальной считается стратегия Ai , обеспечивающая

. (5.1)

2. Критерий Вальда (минимаксный или максминный критерий )

Этот критерий является наиболее осторожным, поскольку основан на выборе наилучшей из наихудших возможностей:

– в случае нахождения выигрыша;

– в случае нахождения потерь.

Это пессимистические критерии.

3. Критерий Сэвиджа (минимаксного риска)

Критерий Вальда настолько пессимистичен, что может привести к нелогичным выводам. Рассмотрим следующую матрицу потерь, которая обычно приводится в качестве классического примера для обоснования “менее пессимистичного” критерия Сэвиджа.

	11000
	10000	10000

Применение минимаксного критерия приводит к выбору стратегии А2, хотя интуитивно можно выбрать А1, так как при этом выборе можно надеется проиграть 90, тогда как выбор А2 всегда приводит к потерям в 10000 единиц при любом состоянии погоды..

Критерий Сэвиджа “исправляет” положение введением новой матрицы потерь, в которой заменяются на font-size:14.0pt;line-height: 150%">, определяемые следующим образом:

Это означает, что есть разность между наилучшим значением в столбце j и значением .

По существу, выражает сожаление лица, принимающего решение, по поводу того, что он не выбрал наилучшего действия относительно состояния j . Матрица R =() ê называется матрицей сожаления или матрицей риска.

Найдем оптимальную стратегию предыдущей задачи по этому критерию:

.

Применим к матрице “сожаления” R минимаксный критерий. Получим, что оптимальной стратегией будет– А1.

Отметим, что независимо от того, – доход или потери, – всегда потери. Поэтому к матрице “сожаления” всегда применяется минимаксный критерий.

4. Критерий Гурвица (пессимизма-оптимизма)

Этот критерий охватывает ряд различных подходов к принятию решений: от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного.

При оптимистичном подходе выбирают стратегию, дающую :

, если – выигрыш, и

, если – потери.

Аналогично при наиболее пессимистичных предположениях выбираемое решение соответствует : , если – выигрыш, и

font-size:14.0pt;line-height: 150%">, если – потери.

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего оптимизма и пессимизма взвешиванием обоих способов поведения с соответствующими весами a и 1- a , где 0 £ a £ 1.

Если – прибыль, то выбирается стратегия по правилу:

Если – затраты, критерий выбирает стратегию, дающую

Параметр a интерпретируется как показатель оптимизма; при a =1 критерий слишком оптимистичный, при a =0 он слишком пессимистичный. Значение a между 0 и 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или оптимизму. a =0,5 представляется наиболее разумным.

Анализ практических ситуаций обычно проводится на основе нескольких критериев, что позволяет глубже исследовать суть явления.

Пример.

Одно из предприятий должно определить уровень предложения услуг так, чтобы удовлетворить потребности клиентов. Точное число клиентов не известно, но ожидается, что оно может принимать одно из следующих значений: 200, 250, 300, 350. Для каждого из этих возможных значений существует наилучший уровень предложения (с точки зрения возможных затрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения предложения над спросом, либо из-за неполного удовлетворения спроса.

Потери в зависимости от ситуации приведены в следующей таблице:

Клиенты Предложен.
a 1
a 2
a 3
a 4

· Критерий Вальда . Так как – потери, применяем минимаксный критерий.

Оптимальной стратегией будет А3.

· Критерий Лапласа . Пусть стратегии 2-го игрока равновероятны. Следовательно . Тогда:

EN-US">EN-US">EN-US">font-size:14.0pt;line-height:150%">Таким образом, наилучшим уровнем предложения в соответствии с критерием Лапласа будет стратегия А2.

· Критерий Сэвиджа . Построим матрицу риска:

position:absolute; z-index:2;left:0px;margin-left:68px;margin-top:21px;width:213px;height:2px">

Лучшая стратегия А2.

· Критерий Гурвица. Пусть a =1 / 2.

			5/2+25/2=15
			7/2+23/2=15
			12/2+21/2=16,5
			15/2+30/2=22,5

Лучшие стратегии А1 и А2.

Если находить решение методами теории игр, то сначала ищем наличие седловой точки:

Эта игра имеет седловую точку и оптимальной будет стратегия А3.

5. Критерий Байеса

Если вероятности состояний природы – pj известны, то можно пользоваться критерием Байеса, согласно которому:

оптимальной считается чистая стратегия, соответствующая максимальному среднему выигрышу: , если – выигрыш и минимальным средним потерям: , если –потери.

Если в предыдущем примере известны вероятности спроса font-size:14.0pt;line-height: 150%">, то для нахождения оптимальной стратегии необходимо найти средние потери для каждой чистой стратегии предприятия и выбрать ту, которая обеспечивает минимум средних потерь: font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:Symbol">® стратегия А2.

Можно показать, что та стратегия, которая обращает в максимум средний выигрыш, обращает в минимум и средний риск.

Все рассмотренные критерии были сформулированы для чистых стратегий, но каждый из них может быть распространен и на смешанные стратегии, подобно тому, как это делается в теории игр. В теории статистических решений смешанные стратегии имеют смысл при многократном повторении игры.

Но многократно повторяя игру, можно определить частоты повторений той или иной ситуации и в дальнейшем применять стохастический подход к задаче принятия решений.

Если использовать смешанные стратегии, то критерий Вальда формулируется следующим образом: оптимальной будет смешанная стратегия , обеспечивающая , т. е. максимизирующая средний выигрыш (если –выигрыш)

Критерий Сэвиджа для смешанных стратегий : оптимальной считается та смешанная стратегия, при которой максимальный средний риск статистика минимален, то есть стратегия , найденная из условия .

Оптимальные смешенные стратегии в этом случае находятся также, как в обычной матричной игре.

Выбор наилучшего решения в условиях неопределенности существенно зависит от того, какова степень этой неопределенности, т.е. от того, какой информацией располагает ЛПР.

Предположения субъективны, поэтому и степени неопределенности со стороны ЛПР должны различаться. Практикуются два основных подхода к принятию решения в условиях неопределенности. Лицо, принимающее решение, может использовать имеющуюся у него информацию и свои собственные личные суждения, а также опыт для идентификации и определения субъективных вероятностей возможных внешних условий, оценки возможных последствий альтернатив в различных условиях внешней среды. Это, в сущности, делает условия неопределенности аналогичными условиям риска, а процедура принятия решения, обсуждавшаяся ранее для условий риска, выполняется и в этом случае.

Если степень неопределенности слишком высока, то ЛПР предпочитает не делать допущений относительно вероятностей различных внешних условий, т.е. это лицо может или не учитывать вероятности, или рассматривать их как равные, что практически одно и то же. Если применяется данный подход, то для оценки предполагаемых стратегий имеются четыре критерия решения:

• 1) критерий решения Вальда, называемый также максимином;
• 2) альфа-критерий решения Гурвица;
• 3) критерий решений Сэвиджа, называемый также критерием отказа от минимакса;
• 4) критерий решений Лапласа, называемый также критерием решения Бэйеса.

Пожалуй, наиболее трудная задача для ЛПР заключается в выборе конкретного критерия, наиболее подходящего для решения предложенной задачи. Выбор критерия должен быть логичным при данных обстоятельствах. Кроме того, при выборе критерия должны учитываться философия, темперамент и взгляды нынешнего руководства фирмы (оптимистические или пессимистические, консервативные или прогрессивные).

Рассмотрим эти утверждения на конкретном примере. Элементами модели выбора альтернатив в условиях неопределенности являются матрица принятия решений |А i, Sj| и целевая функция Е {A i, w (S j)} (рис. 6.9).

Рис. 6.9.

А i, – альтернативы действий; Sj – состояние внешней среды; w (S j) – вероятности наступления состояния S j, причем Σmj= 1w(S j) = 1; e ij – результат, который будет достигнут, если выбрана альтернатива А i и наступит состояние внешней среды S j

В качестве иллюстрационного примера возьмем матрицу решений (рис. 6.10), включающую в себя пять альтернатив (A i; i = 1, ..., 5) и четыре состояния внешней среды (S j; j = 1,4). Последствия принимаемых решений приведены на пересечении строк и столбцов (e ij).

Рис. 6.10.

В условиях определенности, т.е. когда принятие решений происходит после наступления событий во внешней среде (апостериори), должно приниматься решение, максимизирующее целевую функцию (рис. 6.11). Так, при наступлении события S 1 необходимо принимать альтернативу A2, при S2 → A4, при S3 → A5, при S4 → A1.

Рис. 6.11.

В условиях риска необходимо принимать решение (выбирать альтернативу Ai) до наступления события Sj во внешней среде (априори), что требует учета вероятности w (Sj) наступления этого события. Это можно сделать путем умножения вероятности наступления этого события w (S j) на результат e ij, получаемый от принятия того или иного решения, и выбрать наибольшее значение Ai (рис. 6.12).

Рис. 6.12.

В случае если степень неопределенности слишком высока, то ЛПР может присваивать значениям вероятности свои субъективные значения, сводя задачу к принятию решений в условиях риска, либо не делать допущений относительно вероятностей различных внешних условий, т.е. может или не учитывать вероятности, или рассматривать их как равные, применяя различные критерии для выбора.

Критерий решения Вальда

Критерием Вальда "рассчитывай на худшее" (критерий крайнего пессимизма, или максимин) называют критерий, предписывающий обеспечить значение параметра эффекта, равного а:

Этот критерий ориентирует ЛПР на наихудшие условия и рекомендует выбрать ту стратегию, для которой выигрыш максимален. В других, более благоприятных условиях использование этого критерия приводит к потере эффективности системы или операции.

В рассматриваемом случае (рис. 6.13) в соответствии с критерием "крайнего пессимизма" наилучшей альтернативой будет A1.

Другим предельным случаем критерия Вальда является критерий "необузданного оптимизма", или максимакс:

В соответствии с этим критерием необходимо выбрать альтернативу А 2.

Рис. 6.13.

Альфа-критерий решения Гурвица

Этот критерий рекомендует при выборе решения в условиях неопределенности не руководствоваться крайним пессимизмом (всегда "рассчитывай на худшее", α = 0) или крайним оптимизмом ("все будет наилучшим образом", а = 1). Рекомендуется некое среднее решение (0 ≤ α ≤ 1). Этот критерий имеет следующий вид:

где α – некий коэффициент, выбираемый экспериментально из интервала между 0 и 1.

Использование этого коэффициента вносит дополнительный субъективизм в принятие решений с использованием критерия Гурвица.

В рассматриваемом примере (рис. 6.14) для случая а = 0,7 предпочтительной альтернативой становится А3.

Рис. 6.14.

Здесь приняты следующие обозначения:

Критерий решения Сэвиджа

В соответствии с этим минимаксным критерием, если требуется в любых условиях избежать большого риска, то оптимальным будет то решение, для которого риск, максимальный при различных вариантах условий, окажется минимальным.

При использовании критерия Сэвиджа обеспечивается наименьшее значение максимальной величины риска:

где риск r ij определяется выражением r ij = β – e ij, β – максимально возможный выигрыш.

Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда, – это критерий крайнего пессимизма, но только пессимизм здесь проявляется в том, что минимизируется максимальная потеря в выигрыше по сравнению с тем, чего можно было бы достичь в данных условиях.

Для рассматриваемого примера результаты выбора альтернативы приведены на рис. 6.15.

Рис. 6.15.

В рассматриваемом примере альтернатива А 4 минимизирует максимальное "наказание" за неверно определенное состояние внешней среды.

Критерий решения Лапласа

Критерий Лапласа, или байесов критерий, гласит, что если вероятности состояния среды неизвестны, то они должны приниматься как равные. В этом случае выбирается стратегия, характеризующаяся самой предполагаемой стоимостью при условии равных вероятностей. Критерий Лапласа позволяет сводить условие неопределенности к условиям риска. Критерий Лапласа называют критерием рациональности, и он подходит для стратегических долгосрочных решений, как и все названные выше критерии.

В рассматриваемом примере наилучшей альтернативой по критерию Лапласа (рис. 6.16) является А 5.

Рис. 6.16.

Кроме названных выше четырех критериев для принятия решений в условиях неопределенности существуют неколичественные методы, такие как приобретение дополнительной информации, хеджирование, гибкое инвестирование и др.

В ситуации неопределенности невозможно определить вероятности наступления тех или иных последствий принимаемых решений. Поэтому критерий математического ожидания, который широко используется в ситуации риска, и для которого обязательно нужны упомянутые вероятности, здесь неприменим. Вместо него используются иные критерии.

Для выбора оптимальной стратегии в ситуации неопределенности существует два основных критерия: максимин и минимакс. Максимин называют еще критерием пессимиста или критерием Вальда , а минимакс - критерием Сэвиджа.

Критерий Вальда (Уолда) – максиминный. Этот критерий опирается на принцип наибольшей осторожности – критерий крайнего пессимизма, который основывается на выборе "из худшего – лучшее". По сути, это критерий минимакса – основной в теории игр. Согласно этому критерию природа (среда) ведет себя как разумный агрессивный противник, делающий все, чтобы помешать нам достичь успеха. Оптимальной считается та стратегия, которая гарантирует выигрыш наибольший (max) из всех наихудших (min) возможных исходов действия по каждой стратегии – уровень безопасности:

Выбранная таким образом оптимальная по критерию Вальда стратегия называется максиминной, а величина W – максимином.

Критерий Сэвиджа – минимаксного риска . Критерий предполагает предварительное составление так называемой матрицы "рисков" (потерь, сожалений). В теории статистических решений риском rij при пользовании стратегией Qi в условиях Gj называется разность между выигрышем, который мог бы быть получен, если бы были известны условия Gj, и выигрышем, который будет получен, не зная их и выбирая стратегию Qi:

Минимакс ориентирован не столько на минимизацию потерь, сколько на минимизацию сожалений по поводу упущенной прибыли. Он допускает разумный риск ради получения дополнительной прибыли. Пользоваться этим критерием для выбора стратегии поведения в ситуации неопределенности можно лишь тогда, когда есть уверенность в том, что случайный убыток не приведет фирму к полному краху

Критерий произведений

Высокодоходные акции редко бывают достаточно надежными, а самые надежные высокодоходными. Поэтому при покупке акций всегда приходится выбирать между их доходностью и их надежностью и как-то увязывать их между собой. Такая проблема всегда встает при любом инвестиционном проекте. Если известны вероятности сохранения или потери инвестиций, то эта проблема решается с помощью критерия математического ожидания. Если их нет, приходится обращаться к другими критериям. Одним из таких критериев является критерий произведений. Он позволяет выбрать такой проект, который бы был наиболее доходным и в то же время наименее рискованным. Критерий произведений рассчитывается по формуле:

Критерий произведений способен работать на минимуме информации.

Пример решения задачи

Предположим, что в условиях колебания спроса G j = {3000, 6000, 9000,12000} у торгового предприятия существуют три стратегии сбыта какого-либо товара: Q п (1) = 6000 шт; Q п (2) = 9000 шт; Q п (3) = 12000 шт. по цене реализации C р = 70 руб. при цене покупки C п = 30 руб. и средних издержках И = 10руб./шт.

В соответствии с ресурсными возможностями торгового предприятия рассчитаем варианты среднегодовой прибыли по формуле (1), а результаты сведем в таблице 3.

Таблица 3 - Матрица выигрышей (прибылей) коммерческих стратегий при неопределенной рыночной конъюнктуре

1. Критерий Вальда. Для определения оптимальной стратегии по критерию наибольшей осторожности дополним табл. 3 столбцом 6 справа, укажем для каждой строки минимум прибыли и выберем ту стратегию, при которой минимум строки максимален (см. табл. 4).

Таблица 4 - Сводная матрица прибылей

2. Критерий Гурвица. Пусть показатель пессимизма λ определен λ = 0,4.

Для вычисления значений стратегий по критерию взвешенной (разумной) осторожности в дополнительном столбце 7 табл. 4 найдем максимальные значения для каждой строки. Тогда:

Максимальное значение соответствует двум стратегиям закупки Q п (1) и Q п (2) .

3. Критерий Лапласа. Исходя из принципа равновероятности состояний природы найдем средние значения "выигрышей"– прибылей для каждой стратегии:

По критерию усреднения выигрышей Лапласа наилучшей является стратегия закупки Q п (2)

4. Критерий Байеса-Лапласа. Для определения оптимальной стратегии по критерию средневзвешенной оценки выигрышей необходимо знать распределение вероятностей спроса. Пусть из прошлого опыта или экспертным путем такие вероятности определены (нижняя строка в табл. 4).

Тогда оценки по критерию для каждой стратегии составят:

Максимальное значение соответствует стратегии Q п (2) .

Таблица 5 - Матрица рисков коммерческих стратегий

5. Критерий Сэвиджа. Перейдем от матрицы выигрышей к матрице рисков (табл. 5). Для этого предварительно укажем в дополнительной строке таблицы максимально возможные выигрыши по каждому состоянию природы (предпоследняя строка) и затем рассчитаем соответствующие риски r i j = max П i j – П i j

для заполнения матрицы рисков (табл. 5). Исходя из принципа наибольшей осторожности, находим максимальные значения рисков по строкам и из них выбираем стратегии Q п (1) и Q п (2) с минимальным значением максимально возможного риска. Перенесем полученные значения в табл. 4 для подведения итогов выбора.

Итак, конкурирующими оказались стратегии Q п (1) и Q п (2) (выбор стратегии Q п (3) по критерию Гурвица вызван, скорее всего, излишним оптимизмом при выборе показателя λ). Стратегия Q п (1) выбрана по критериям Вальда, Лапласа и Сэвиджа, стратегия Q п (2) – по критериям Лапласа, Байеса-Лапласа и Сэвиджа.

Предпочтение той или иной стратегии выбирается лучшей по большинству критериев. Но в нашем случае две стратегии Q п (1) и Q п (2) равнозначны в этом смысле.

Задача по вариантами:

Таблица 6 - Матрица прибылей коммерческих стратегий при неопределенной рыночной конъюнктуре

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Критерий сожаления. Критерий математического ожидания . Психология поведения ЛИР в ситуациях риска и неопределенности. Использование теории полезности для выбора оптимального варианта решения. Интуитивный выбор оптимального варианта.  

КРИТЕРИЙ ВАЛЬДА (критерий максимина")  

Как видно из приведенной таблицы, оптимальная альтернатива рискового решения в условиях неопределенности по критерию Вальда (критерию "максимина") находится в затененном поле и соответствует 140 усл. ден. ед. (это значение эффективности является максимальным из всех минимальных ее значений при наихудших вариантах ситуаций).  

Критерием Вальда (критерием "максимина") руководствуется при выборе рисковых решений в условиях неопределенности , как правило, субъект, не склонный к риску или рассматривающий возможные ситуации как пессимист.  

Величина W - это такое значение показателя W(x, у), которое мы можем гарантировать себе при наихудшем для нас поведении природы (гарантированный результат). Если мы применим управление х е X, отличное от найденного в сформулированной задаче, природа -может наказать нас за легкомыслие, выбрав наихудшее значение параметра у, при котором мы получим показатель W, меньший W. Этот критерий выбора решения иногда называют также критерием Вальда.  

Максиминная оценка по критерию Вальда является единственной абсолютно надежной при принятии решения в условиях неопределенности.  

Стратегия S называется максиминной, т.е. при любом из условий конъюнктуры рынка результат будет не хуже, чем W = 49310,03 тыс. руб. Поэтому эту величину называют нижней ценой игры , или максимином, а также принципом наибольшего гарантированного результата на основе критерия Вальда, в соответствии с которым оптимальной стратегией при любом состоянии среды, позволяющем получить максимальный выигрыш в наихудших условиях, является максиминная стратегия.  

Критерий Вальда представляет собой критерий крайнего пессимизма и ориентирует лицо, принимающее решение, на наихудшие условия реализации проекта.  

Максиминный критерий Вальда. Здесь выбирается решение торговой организации, при котором гарантируется максимальный выигрыш в наихудших условиях внешней среды (состояния природы)  

Стратегия, соответствующая максимальному значению среди минимумов строк, называется максиминной стратегией . Соответствующий критерий (критерий Вальда) записывается так  

Другими словами, оптимальной по критерию Вальда будет та стратегия, при которой наименьший выигрыш является наибольшим среди наименьших выигрышей всех стратеги и. Величину W(, i = 1...m назовем показателем оптимальности стратегии А по критерию Вальда. Значит,  

Один из методов заключается в выборе наилучшей из худших возможностей (критерий Вальда). При этом для каждой из стратегий выбирается худший результат, а затем из них - лучший. 108  

Если при этом получаются стратегии с одинаковыми критериями Вальда, то из них выбирают стратегию, которая имеет наименьшую чувствительность ко внешним условиям "  

Его также называют максиминным критерием Вальда. Сущность данного критерия заключается в следующем. ЛПР располагает множеством стратегий (вариантов, альтернатив) решения проблемы  

Поэтому возникает необходимость определения возможных отклонений полученных результатов от их оптимальных значений. Здесь находит применение критерий Сэвиджа . Выбор стратегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем отличием, что игрок руководствуется не матрицей выигрышей Е, а матрицей рисков R, построенной по формуле (2.2.2).  

Наибольшая осторожность Ег = max min е i j Критерий гарантированного результата (Вальда)  

А. Вальд также доказал, что его критерий существенно выгоднее (по среднему числу наблюдений), чем наилучший из классических критериев - критерий Неймана-Пирсона.  

В частности, максиминный критерий Вальда обеспечивает максимизацию минимального выигрыша или, что то же самое, минимизацию максимальных потерь , которые могут быть при реализации одной из стратегий. Данный критерий прост и четок, но консервативен в том смысле, что ориентирует принимающего решение на слишком осторожную линию поведения. Величина, соответствующая максиминному критерию, называется нижней ценой игры , под которой следует подразумевать максимальный выигрыш, гарантируемый в игре с данным противником выбором одной из своих стратегий при минимальных результатах.  

Критерий Вальда (или критерий "максимина") предполагает, что из всех возможных вариантов "матрицы решений " выбирается та альтернатива, которая из всех самых неблагоприятных ситуаций развития события (минимизирующих значение эффективности) имеет наибольшее из минимальных значений (т.е. значение эффективности, луч-  

Максиминный критерий Вальда используется в случаях, когда требуется гарантия, чтобы выигрыш в любых условиях оказывался не менее чем наибольший из возможных в худших условиях.  критерии Гурвица . Его значение находится в пределах 0

В формуле этого критерия присутствует коэффициент а, значение которого устанавливается в зависимости от степени уверенности лица, принимающего решение, в правильности своего выбора, какому сценарию реализации проекта следует отдать предпочтение). Значение а выбирается в интервале от 0 до 1. При ос=0 критерий Гурвица превращается в критерий крайнего оптимизма при ос=1 - в критерий Вальда. При 0, тем большее желание "подстраховаться", тем ближе к 1 выбирается коэффициент.  

Критерий правдоподобия является несмещенным и состоятельным, при больших выборках -2-log X имеет распределение хи-квадрат (hi-squared distribution) с г степенями свободы , где / - число параметров р, конкретные значения которых определяет Н0. Критерий правдоподобия (LK) эквивалентен критерию Вальда (W) и критерию множителя Лагранжа (LM) при асимптотическом приближении, однако при малых выборках W>LR>LM.  

MAXIMIN- ориентирован на получение гарантированного выигрыша при наихудшем состоянии внешней среды (подход пессимиста, критерий Вальда). В соответствии с ним в качестве оптимальной выбирается альтернатива, имеющая максимальное значение ожидаемого результата в наименее благоприятном состоянии среды. Здесь решение - отказ от строительства.  

Таким образом, критерий гарантированного результата (мак-симинный критерий Вальда) записывается в виде  

Полная неопределенность означает от­сутствие информа­ции о вероятностных состояниях среды (“природы”), например, о вероятностях тех или иных вариантов ре­альной ситуации; в лучшем случае известны диапазоны значений рассматриваемых величин. Неопределенность, связанную с отсутствием информации о вероятностях состояния среды, называют «безнадежной», или «дурной». Рекомен­дации по принятию наилучших решений в таких ситуациях сформулированы в виде определенных правил (критериев). К основным критериям относятся следующие:

1) критерий оптимизма (критерий максимакса) соответствует оптимистической наступательной стратегии; здесь не принимается во внимание никакой возможный результат, кроме наилучшего;

2) критерий гарантированного результата (максиминный критерий Вальда) – пессимистический, по сути, критерий, т.к. во внимание принимается только наихудший результат каждой альтернативы. Этот подход устанавливает гарантированный минимум, фактический результат может быть лучше;

3) критерий минимаксного риска Сэвиджа, или критерий наименьшего вреда, который определяет худшие возможные последствия для каждой альтернативы и выбирает альтернативу с лучшим из плохих значений;

4) критерий обобщенного максимина (пессимизма – оптимизма) Гурвица позволяет учитывать состояние между крайним пессимизмом и крайним оптимизмом;

5) критерий пессимизма характеризуется выбором худшей альтернативы с худшим из всех худших значений окупаемости.

При сравнительном анализе критериев эффективности нецелесообразно останавливаться на выборе единственного критерия, т.к. в ряде случаев это может привести к неоправданным решениям, ведущим к потерям экономического и иного содержания. В большинстве ситуаций имеется необходимость применения нескольких критериев в совокупности. Например, наряду с критерием гарантированного результата Вальда может быть использован критерий минимаксного риска Сэвиджа и т.п.

1. Критерий (правило) максимакса. При использовании критерия, ЛПР ориентируется на то, что условия функционирования анализируемых систем будут для него наиболее благоприятными. Вследствие этого оптимальным решением является стратегия, максимизирующая максимальные выигрыши - например, доходы – для каждого варианта ситуации. Это критерий крайнего (“розового”) оптимизма , предполагающий максимальный выигрыш, равный наибольшему значению критерия оптимальности в платежной матрице . Критерий целесообразно применять в тех случаях, когда имеется принципиальная возможность повлиять на функции противоположной стороны. Если анализируется матрица эффекта того или иного вида, то выбор управляемых факторов осуществляется таким образом, чтобы обеспечить максимум эффекта. В этом случае критерий оптимизма записывается в виде

Рассматривая i- е решение, предполагают самую хорошую ситуацию, приносящую доход , а затем выбирают решение с наибольшим a i .

Рассмотрим пример (2.2). Для матрицы последствий в примере 2.1 выбрать вариант решения по критерию максимакса.

Решение. Находим последовательность значений : a 1 =8, a 2 =12, a 3 =10, a 4 =8. Из этих значение находим наибольшее: a 2 =12 . Следовательно, критерий максимакса рекомендует принять второе решение (i=2 ).

2. Правило Вальда (правило максимина, или критерий крайнего пессимизма). Сущность критерия состоит в следующем. ЛПР располагает множеством стратегий решения проблемы: . Указанные стратегии считаются контролируемыми (управляемыми) факторами. В качестве этих факторов могут быть: технические параметры проектируемых систем, экономические показатели состояния предприятия, различные варианты решения поставленных задач и т.п. Наряду с управляемыми действуют и неуправляемые (неконтролируемые) факторы: П= {П j }, j= 1,…n. В качестве этих факторов могут быть: уровень спроса на товары, предлагаемые фирмой, рыночные цены, условия эксплуатации технических и производственных систем, действия конкурентов и т.д.

---