Дисперсия в статистике определяется как среднее квадратическое отклонение индивидуальных значений признака в квадрате от средней арифметической. Распространенный способ расчета квадратов отклонений вариантов от средней с их последующим усреднением.

В экономически-статистическом анализе вариацию признака принято оценивать чаще всего с помощью среднего квадратического отклонения, оно представляет собой корень квадратный из дисперсии.

(3)

Характеризует абсолютную колеблемость значений варьирующего признака выражается в тех же единицах измерения, что и варианты. В статистике часто возникает необходимость сравнения вариации различных признаков. Для таких сравнений используется относительный показатель вариации, коэффициент вариации.

Свойства дисперсии:

1)если из всех вариант вычесть какое-либо число, то дисперсия от этого не изменится;

2) если все значения вариант разделить на какое-либо число b, то дисперсия уменьшится в b^2 раз, т.е.

3) если исчислить средний квадрат отклонений от какого-либо числа с неравного средней арифметической, то он будет больше дисперсии . При этом на вполне определенную величину на квадрат разности между средней величиной поc.

Дисперсию можно определить как разницу между средним квадратом и средней в квадрате.

17. Групповая и межгрупповая вариации. Правило сложения дисперсии

Если статистическая совокупность разбита на группы или части по изучаемому признаку, то для такой совокупности могут быть исчислены следующие виды дисперсии: групповые (частные), средне групповые (частных), и межгрупповая.

Общая дисперсия – отражает вариацию признака за счет всех условий и причин, действующих в данной статистической совокупности.

Групповая дисперсия - равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы от средней арифметической этой группы, называемой групповой средней. При этом групповая средняя не совпадает с общей средней для всей совокупности.

Групповая дисперсия отражает вариацию признака только за счет условий и причин, действующих внутри группы.

Средняя групповых дисперсий - определяется как среднее взвешенное арифметическое из дисперсий групповых, причем весами являются объемы групп.

Межгрупповая дисперсия - равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней.

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака за счет группировочного признака.

Между рассмотренными видами дисперсий существует определенное соотношение: общая дисперсия равна сумме средней групповой и межгрупповой дисперсии.

Это соотношение называется правилом сложения дисперсии.

18. Динамический ряд и его составные элементы. Виды динамических рядов.

Ряд в статистике - это цифровые данные, показывающие, изменение явления во времени или в пространстве и дающие возможность производить статистическое сравнение явлений как в процессе их развития во времени, так и по различным формам и видам процессов. Благодаря этому можно обнаружить взаимную зависимость явлений.

Процесс развития движения социальных явлений во времени в статистике принято называть динамикой. Для отображения динамики строят ряды динамики (хронологические, временные), которые представляют собой ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя (например, число осуждённых за 10 лет), расположенных в хронологическом порядке. Их составными элементами являются цифровые значения данного показателя и периоды или моменты времени, к которым они относятся.

Важнейшая характеристика рядов динамики - их размер (объём, величина) того или иного явления, достигнутых в определённых период или к определённому моменту. Соответственно, величина членов ряда динамики - его уровень. Различают начальный, средний и конечный уровни динамического ряда. Начальный уровень показывает величину первого, конечный - величину последнего члена ряда. Средний уровень представляет собой среднюю хронологическую вариационного рада и исчисляется в зависимости от того, является ли динамический ряд интервальным или моментным.

Ещё одна важная характеристика динамического ряда - время, прошедшее от начального до конечного наблюдения, или число таких наблюдений.

Существуют различные виды рядов динамики, их можно классифицировать по следующим признакам.

1) В зависимости от способа выражения уровней ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных и производных показателей (относительных и средних величин).

2) В зависимости от того, как выражают уровни ряда состояние явления на определённые моменты времени (на начало месяца, квартала, года и т.п.) или его величину за определённые интервалы времени (например, за сутки, месяц, год и т.п.), различают соответственно моментные и интервальные ряды динамики. Моментные ряды в аналитической работе правоохранительных органов используются сравнительно редко.

В теории статистики выделяют рады динамики и по ряду других классификационных признаков: в зависимости от расстояния между уровнями - с равностоящими уровнями и неравностоящими уровнями во времени; в зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса - стационарные и не стационарные. При анализе динамических рядов исходят из следующего уровни ряда представляют в виде составляющих:

Y t = TP + Е (t)

где ТР – детерминированная составляющая определяющая общую тенденцию изменения во времени или тренд.

Е (t) – случайная компонента, вызывающая колеблимость уровней.

Дисперсия — это мера рассеяния, описывающая сравнительное отклонение между значениями данных и средней величиной. Является наиболее используемой мерой рассеяния в статистике, вычисляемая путем суммирования, возведенного в квадрат, отклонения каждого значения данных от средней величины. Формула для вычисления дисперсии представлена ниже:

s 2 – дисперсия выборки;

x ср — среднее значение выборки;

n — размер выборки (количество значений данных),

(x i – x ср) — отклонение от средней величины для каждого значения набора данных.

Для лучшего понимания формулы, разберем пример. Я не очень люблю готовку, поэтому занятием этим занимаюсь крайне редко. Тем не менее, чтобы не умереть с голоду, время от времени мне приходится подходить к плите для реализации замысла по насыщению моего организма белками, жирами и углеводами. Набор данных, редставленный ниже, показывает, сколько раз Ренат готовит пищу каждый месяц:

Первым шагом при вычислении дисперсии является определение среднего значения выборки, которое в нашем примере равняется 7,8 раза в месяц. Остальные вычисления можно облегчить с помощью следующей таблицы.

Финальная фаза вычисления дисперсии выглядит так:

Для тех, кто любит производить все вычисления за один раз, уравнение будет выглядеть следующим образом:

Использование метода «сырого счета» (пример с готовкой)

Существует более эффективный способ вычисления дисперсии, известный как метод «сырого счета». Хотя с первого взгляда уравнение может показаться весьма громоздким, на самом деле оно не такое уж страшное. Можете в этом удостовериться, а потом и решите, какой метод вам больше нравится.

— сумма каждого значения данных после возведения в квадрат,

— квадрат суммы всех значений данных.

Не теряйте рассудок прямо сейчас. Позвольте представить все это в виде таблицы, и тогда вы увидите, что вычислений здесь меньше, чем в предыдущем примере.

Как видите, результат получился тот же, что и при использовании предыдущего метода. Достоинства данного метода становятся очевидными по мере роста размера выборки (n).

Расчет дисперсии в Excel

Как вы уже, наверное, догадались, в Excel присутствует формула, позволяющая рассчитать дисперсию. Причем, начиная с Excel 2010 можно найти 4 разновидности формулы дисперсии:

1) ДИСП.В – Возвращает дисперсию по выборке. Логические значения и текст игнорируются.

2) ДИСП.Г — Возвращает дисперсию по генеральной совокупности. Логические значения и текст игнорируются.

3) ДИСПА — Возвращает дисперсию по выборке с учетом логических и текстовых значений.

4) ДИСПРА — Возвращает дисперсию по генеральной совокупности с учетом логических и текстовых значений.

Для начала разберемся в разнице между выборкой и генеральной совокупностью. Назначение описательной статистики состоит в том, чтобы суммировать или отображать данные так, чтобы оперативно получать общую картину, так сказать, обзор. Статистический вывод позволяет делать умозаключения о какой-либо совокупности на основе выборки данных из этой совокупности. Совокупность представляет собой все возможные исходы или измерения, представляющие для нас интерес. Выборка — это подмножество совокупности.

Например, нас интересует совокупность группы студентов одного из Российских ВУЗов и нам необходимо определить средний бал группы. Мы можем посчитать среднюю успеваемость студентов, и тогда полученная цифра будет параметром, поскольку в наших расчетах будет задействована целая совокупность. Однако, если мы хотим рассчитать средний бал всех студентов нашей страны, тогда эта группа будет нашей выборкой.

Разница в формуле расчета дисперсии между выборкой и совокупностью заключается в знаменателе. Где для выборки он будет равняться (n-1), а для генеральной совокупности только n.

Теперь разберемся с функциями расчета дисперсии с окончаниями А, в описании которых сказано, что при расчете учитываются текстовые и логические значения. В данном случае при расчете дисперсии определенного массива данных, где встречаются не числовые значения, Excel будет интерпретировать текстовые и ложные логические значения как равными 0, а истинные логические значения как равными 1.

Итак, если у вас есть массив данных, рассчитать его дисперсию ни составит никакого труда, воспользовавшись одной из перечисленных выше функций Excel.

Глава 3. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Основные понятия и постановка задачи

В задачах линейного и нелинейного программирования рассматриваются статистические задачи экономики, которые не зависят от времени. Для них оптимальное решение находится за один шаг (этап). Такие задачи называются одноэтапными или одношаговыми. В отличие от них задачи динамического программирования являются многоэтапными или многошаговыми. Многошаговым называют процесс экономики, развивающийся во времени или распадающийся на ряд шагов или этапов.

Особенность метода динамического программирования состоит в том, что управленческое решение состоит из комплекса взаимосвязанных решений. Последовательность взаимосвязанных решений, принимаемых на каждом этапе развития процесса во времени, называют стратегией или управлением. В экономике управление сводится к распределению и перераспределению средств (ресурсов) на каждом этапе.

Рассмотрим некоторый развивающийся экономический процесс, разделяющийся по времени из нескольких этапов (шагов). На каждом шаге выбираются параметры, влияющие на ход и исход операции, и принимается решение, от которого зависит выигрыш и на данном шаге по времени, например, в текущем году, и в операции в целом, например, за пятилетку. Этот выигрыш называется шаговым управлением.

Управление процессом в целом распадается на совокупность шаговых управлений : . В общем случае – числа, векторы, функции. Нужно найти такое управление , при котором выигрыш (например, доход) является максимальным . Управление , при котором этот максимум достигается, называется оптимальным и состоит из шаговых управлений . Максимальный выигрыш обозначим .

Задачи математического программирования, которые можно представить как многошаговый (многоэтапный) процесс, составляют предмет динамического программирования. При решении задач оптимизации методом динамического программирования нужно на каждом шаге учитывать последствия, к которым приведет в будущем решение, принимаемое в данный момент. Такой способ выбора решения является определяющим в динамическом программировании. Он называется принципом оптимальности.

Метод динамического программирования рассмотрим на отдельных примерах.

1. Задача управления производством. Планируется работа промышленного объединения, состоящего из предприятий, , на период времени из лет, . В начальный период на развитие объединения выделяются средства в размере . Их нужно распределить между предприятиями. В процессе работы выделенные средства частично расходуются. Каждое предприятие за год дает прибыль, зависящую от вложенных в него средств. В начале каждого года средства можно перераспределять. Нужно так распределить средства между предприятиями, чтобы суммарная прибыль объединения за период T летбыла максимальной.

Принятие решения разбивается на шагов, . Управление заключается в начальном распределении и последующих перераспределениях средств. Управление на каждом шаге t выражается вектором , где – объем средств, выделенных i -му предприятию в начале года t . Управление процессом в целом состоит из совокупности шаговых управлений .

Пусть – материальное и финансовое состояние системы на начало t -го года, . Состояние каждого предприятия также является вектором. Его компонентами являются трудовые ресурсы, основные фонды, финансовое положение и т.д. То есть , где – число компонент вектора. Вектор управления – это функция состояния системы предприятий на начало соответствующего финансового года . Начальное состояние системы задается.

Целевая функция – суммарная прибыль объединения за лет. Пусть – прибыль объединения за год . Тогда целевая функция . На состояние системы и вектор управления в каждом году могут быть наложены ограничения. Пусть – множество этих ограничений, которое называется множеством допустимых управлений или множеством экономических возможностей. Возможные управления должны принадлежать ей . Таким образом, окончательно задача имеет вид .

2. Задача о ремонте и замене оборудования . Владелец автомашины эксплуатирует её в течение m лет. В начале каждого года он может принять одно из трёх решений: 1) продать машину и заменить её новой; 2) отремонтировать и продолжать эксплуатацию; 3) продолжить эксплуатацию без ремонта.

Пошаговое управление – выбор одного из трех решений. Его нельзя выразить числами, но можно приписать первому значение 1, второму – 2, третьему – 3. Как чередовать управления 1, 2, 3 по годам, чтобы суммарные расходы на ремонт, эксплуатацию, покупку новой машины были минимальными: .

Управление операций представляет собой какую-то комбинацию чисел, например: . Любое управление – это вектор такого вида, содержащий m компонент, каждый из которых принимает одно из трех значений 1, 2, 3.

Особенности задач динамического программирования.

1. В этих задачах вместо поиска оптимального решения сразу для всей сложной задачи переходят к нахождению оптимального решение для нескольких более простых задач аналогичного содержания, на которые распадается исходная задача.

2. Решение, принимаемое на конкретном шаге, не зависит от «предыстории»: от того, каким образом оптимизируемый процесс достиг настоящего состояния. Оптимальное решение выбирается с учетом факторов, характеризующих процесс в данный момент;

3. Выбор оптимального решения на каждом шаге по времени производится с учетом его последствий. Оптимизируя процесс на каждом отдельном шаге, нельзя забывать обо всех последующих шагах.

Общая постановка задачи динамического программирования. Рассмотрим некоторую развивающуюся во времени систему управления, на которую можно влиять принимаемыми решениями. Пусть эта система распадается на T шагов (этапов). Ее состояние на начало каждого шага описывается вектором . Множество всех состояний, в которых может находиться система на начало t -го шага, обозначим через . Начальное состояние системы считается известным, то есть при задан вектор .

Развитие системы состоит в последовательном переходе из одного состояния в другое. Если система находится в состоянии , то ее состояние на следующем шаге определяется не только вектором , но и управленческим решением , принятым на шаге t . Запишем это следующим образом . Решение на каждом шаге нужно выбирать из некоторого множества возможных решений, оно не может быть произвольным. Развитие системы в течение всего рассматриваемого периода можно описать последовательностью состояний , где .

Любая последовательность допустимых решений, переводящая систему из начального состояния в конечное состояние , называют стратегией. Для полного описания процесса, состоящего из шагов, каждой стратегии надо дать оценку – значение целевой функции , которая представима в виде суммы оценочных функций , значения которых находятся на каждом шаге при переходе из состояния в состояние , т.е. .

Общую задачу динамического программирования можно сформулировать так. Найти стратегию , доставляющую экстремум функции при условиях, что задан вектор начального состояния системы , а вектор текущего состояния системы на момент времени является функцией состояния системы на момент времени и управленческого решения, принятого на этом шаге: , .

Функциональные уравнения динамического программирования называются функциональными уравнениями Беллмана .

Математическая формулировка принципа оптимальности с аддитивным критерием . Пусть заданы начальное и конечное состояние системы . Введем обозначения: – значение функции цели на первом этапе при начальном состоянии системы X 0 и при управлении , – значение функции цели на втором шаге при состоянии системы и при управлении . Соответственно далее – значение функции цели на -ом этапе, . Очевидно, что

Требуется найти оптимальное управление , такое что

при ограничениях

Поиск оптимального решения задачи (69)–(70) сводится к оптимальному решению нескольких более простых задач аналогичного содержания, которые входят составной частью в исходную задачу.

Пусть – соответственно области определения (допустимых решений) для задачи на последнем этапе, на последних двух этапах и т.д., – область определения исходной задачи. Пусть – условно оптимальное значение функции цели на последнем этапе, т.е.

, . (71)

Обозначим соответственно оптимальные значения функции цели на двух последних, трех последних этапах и т.д., на Т этапах. В силу этих обозначений имеем:

. . . . . . . . . . . . . . .

Выражения (71) – (75) называются функциональными уравнениями Беллмана. Эти уравнения имеют рекуррентный характер, так как для нахождения оптимального уравнения на T шагах нужно знать условно оптимальное управление на последующих T –1 шагах и т.д. Поэтому функциональные уравнения также называют рекуррентными соотношениями Беллмана.

Используя функциональные уравнения Беллмана, находим решение рассматриваемой задачи динамического программирования. Решение ищется в обратном порядке от до .

Запишем функциональное уравнение последнего этапа

Рассматривают набор фиксированных состояний и решений и отвечающих им значений . Среди решений выбирают такое , которое обеспечивает максимум (минимум) функции . Затем переходят к предшествующему этапу и рассматривают функциональное уравнение (72). Для каждого возможного состояния находят значение в зависимости от допустимого решения . Затем сравнивают суммы и определяют максимальную (минимальную) сумму для каждого состояния и соответствующее условное оптимальное решение , т.е. определяют решение, при котором функция принимает экстремальное значение.

Далее переходят к этапам ( и т.д.) до момента времени . Для первого этапа записывают функциональное уравнение (75). На этом шаге предположения о возможных состояниях процесса не делают, так как первоначальное состояние известно. Для этого состояния находится оптимальное решение с учетом всех условно оптимальных решений предыдущих этапов.

Весь процесс проходят в прямом направлении от до и определяют оптимальное решение для всего процесса (всей задачи). Оно придает целевой функции максимальное (минимальное) значение.

Задача выбора кратчайшего пути . Задана транспортная железнодорожная сеть (рис.11), на которой указан пункт отправления A и пункт назначения B. Между ними имеется много других пунктов. Некоторые соединены между собой железнодорожным полотном. Над каждым участком железнодорожной сети проставлены цифры, указывающие расстояние между двумя соседними пунктами. Требуется составить маршрут из пункта A в пункт B минимальной длины.

Разобьем все расстояние между A и B на этапы (рис.11). Оценим отрезки, на которые делят линии (2-2) и (3-3) участки сети.

Выбор кратчайшего пути начнем с конца. Найдем кратчайшие пути, соединяющие конечный пункт B с каждой точкой пересечения линии (2-2) с транспортной сетью. Таких точек пересечения три: D 1 , D 2 , D 3 . Для точки D 1 min(10;8+4;8+3+5)=10; для точки D 2 min(5+4;5+3+5)=9; для точки D 3 min(2.5+3+4; 2.5+5)=7.5.

На рисунке кратчайшие расстояния от точек D 1 ,D 2 и D 3 до конечного пункта B показаны в скобках. Далее рассматриваем точки пересечения линии (3-3) с участком сети. Эти точки C 1 , C 2 , C 3 . Находим кратчайшие расстояния от этих точек до пункта B. Они показаны в скобках у точек C 1 (19), C 2 (14), C 3 (12). Наконец находим минимальную длину пути, ведущего из A в B. Это расстояние равно 23. Затем находим этапы в обратном порядке. Находим кратчайший путь: .

Ключевые слова : динамическое программирование, многоэтапный процесс, управление, управляемый процесс, стратегия, оптимальная стратегия, принцип оптимальности, условно оптимальное управление, функциональные уравнения Беллмана.

Вопросы для самопроверки

1. Что является предметом динамического программирования?

2. В чем отличие динамического программирования от линейного программирования?

3. Каковы основные свойства динамического программирования?

4. В чем заключается принцип оптимальности динамического программирования?

5. Какова модель задачи планирования работы промышленного объединения?

6. Какова формулировка общей задачи динамического программирования?

7. Что выражают функциональные уравнения Беллмана?

8. В чем заключается идея решения задачи динамического программирования?

Задачи для самостоятельного решения

Пример 1. Сформулировать приведенные задачи в терминах динамического программирования.

А) Производственное объединение состоит из т предприятий. В начале каждого года между ними полностью распределяется централизованный фонд развития производства. Выделение i -му предприятию из этого фонда тыс.руб. обеспечивает получение дополнительной прибыли, равной тыс. руб. К началу планового периода из T лет централизованному фонду развития производства выделено тыс.руб. В каждый последующий год этот фонд формируется за счет отчислений от полученной прибыли. Эти отчисления для i -го предприятия составили тыс.руб. Найти такой вариант распределения централизованного фонда развития производства, чтобы получить за T лет максимальную общую прибыль.

Б) В состав производственного объединения входят два предприятия, связанные между собой кооперированными поставками. Вкладывая дополнительные средства в их развитие, можно улучшить технико-экономические показатели деятельности производственного объединения в целом, обеспечив получение дополнительной прибыли. Ее величина зависит от величины средств, выделяемых каждому предприятию, и использованию этих средств. Считая, что на развитие i -го предприятия в начале k -го года выделяется тыс.руб., найти такой вариант распределения средств между предприятиями в течении T лет, чтобы за данный период времени будет получить максимальную прибыль.

Пример 2. Требуется перевезти груз из пункта A в пункт B.

На рис.12 показана сеть дорог и стоимость перевозки единицы груза между отдельными пунктами сети (проставлены у соответствующих ребер). Определить маршрут доставки груза из пункта A в пункт B, которому соответствуют наименьшие затраты.

Пример 3. На данной сети дорог имеется несколько маршрутов по доставке груза из пункта A в пункт B (рис.13). Стоимость перевозки единицы груза между отдельными пунктами сети проставлена у соответствующих ребер. Определить оптимальный маршрут доставки груза из пункта A в пункт B, по которому общие затраты будут минимальными.

Задача распределения инвестиций между предприятиями

На реконструкцию и модернизацию основного производства объединению выделяются материальные ресурсы в объеме . Эти ресурсы нужно распределить между n предприятиями объединения.

Пусть – прибыль, получаемая, если i -му предприятию выделено единиц ресурса. Общая прибыль объединения складывается из прибылей отдельных предприятий

Математическая модель распределения инвестиций имеет вид

Требуется добиться максимума целевой функции (76) при условиях полного распределения инвестиций объема между предприятиями (77) и неотрицательности переменных (78).

Решение задачи представим в виде многоэтапного процесса. Вместо решения одной задачи с заданным объемом инвестиций и фиксированным числом предприятий n рассмотрим семейства задач, в которых объем выделяемого ресурса может меняться от 0 до , а число предприятий – от 1 до n . Например, предполагается, что на первом этапе инвестиция в объеме выделяется только одному предприятию, на втором этапе – двум предприятиями и т.д., на n -ом этапе – предприятиям.

Введем последовательность функций , где – максимальное значение прибыли, получаемой, когда ресурс x распределен только одному предприятию; – максимальное значение прибыли, получаемой при условии, что объем ресурса распределен между двумя предприятиями и т.д.; – максимальное значение прибыли, получаемой при условии, что ресурс распределен между n предприятиями. Очевидно, что .

В двух случаях элементы последовательности имеют простой вид: . Эти соотношения означают: если инвестиция не распределяется, то ожидаемая прибыль равна нулю, и если инвестиция распределяется одному предприятию, то прибыль объединения будет состоять из прибыли только одного предприятия.

Пусть инвестиция объема x , , распределяется между двумя предприятиями. Если – объем инвестиций, выделенный второму предприятию, то его прибыль составит

Допустим, что инвестиция объема x распределяется между k предприятиями. Если – объем инвестиций, выделенный k -му предприятию, то оставшееся количество ресурса распределяется между оставшимися k –1 предприятиями наилучшим образом. Так как известно, то

. (79)

Полученное рекуррентное соотношение (79) и есть функциональное уравнение Беллмана.

Решение исходной задачи получим при из соотношения (79):

Рассмотрим вычислительную схему решения задачи распределения инвестиций методом динамического программирования.

Промежуток разбивают, например, на N интервалов с шагом и считают, что функции определены для значений . При i =1 функция определяется равенством . Множество значений , записывают в таблицу. Зная значения , переходят к вычислению значений функции :

В ходе вычислений устанавливают не только значения , но и такие значения , при которых достигается максимум прибыли . Затем находят значения функции и т.д. Пройдя весь процесс вычисления функций , получают соотошение

с помощью которого находят значение . Таким образом, на последнем этапе находят максимальное значение функции цели , а также оптимальное значение выделяемого ресурса для n -го предприятия.

Затем процесс вычислений просматривается в обратном порядке. Зная , находят – объем инвестиций, подлежащий распределению между оставшимися n– 1 предприятиями.

Прежде всего, используя соотношение

находят значения и и т.д. Продолжая таким образом, в конце процесса находится значение .

Пример 1. Между четырьмя предприятиями следует распределить 200 единиц ограниченного ресурса. Значения, получаемой предприятиями прибыли в зависимости от выделенной суммы , приведены в табл.57 , составленной с «шагом» единиц ресурса. Составить план распределения ресурса, дающий наибольшую суммарную прибыль.

Таблица 57

Выделяемый объем инвестиций	Величина прибыли предприятия

Решение. Представим поставленную задачу как четырехэтапную. На первом этапе, при , рассмотрим случай, когда инвестиция выделяется только одному предприятию. В этом случае . Для каждого значения из промежутка находим значения и заносим их в таблицу 58.

Таблица 58

При инвестиция распределяется между двумя предприятиями. В этом случае общая прибыль вычисляется с помощью следующего функционального уравнения

. (80)

· пусть , то :

· пусть то :

· пусть , то :

Результат вычисления запишем в табл.59.

Таблица 59



0+15	14+0
0+28	14+15	30+0
0+60	14+28	30+15	55+0
0+75	14+60	30+28	55+15	73+0
0+90	14+75	30+60	55+28	73+15	85+0

На 3-ем этапе инвестиция в объеме единиц распределяется между тремя предприятиями. В этом случае общая прибыль объединения определяется с помощью функционального уравнения

Результаты вычислений представим в табл.60.

Таблица 60



0+15	17+0
0+30	17+15	33+0
0+60	17+30	33+15	58+0
0+75	17+60	33+30	58+15	73+0
0+90	17+75	33+60	58+30	73+15	92+0

На 4-м этапе инвестиция распределяется между четырьмя предприятиями и общая прибыль при этом распределяется с помощью функционального уравнения

Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, разработанный для эффективного решения некоторого класса задач математического программирования. Этот класс характеризуется возможностью естественного (а иногда и искусственного) разбиения всей операции на ряд взаимосвязанных этапов. Термин "динамическое" в названии метода возник, видимо, потому что этапы предполагаются разделенными во времени. Однако этапами могут быть элементы операции, никак не связанные друг с другом показателем времени. Тем не менее, метод решения подобных многоэтапных задач применяется один и тот же, и его название стало общепринятым, хотя в некоторых источниках его называют многоэтапным программированием.

Модели динамического программирования могут применяться, например, при разработке правил управления запасами, устанавливающими момент пополнения запасов и размер пополняющего заказа; при разработке принципов календарного планирования производства и выравнивания занятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию; при распределении дефицитных капиталовложений между возможными новыми направлениями их использования; при составлении календарных планов текущего и капитального ремонта сложного оборудования и его замены; при разработке долгосрочных правил замены выбывающих из эксплуатации основных фондов и т.д.

Для определения сущности динамического программирования рассмотрим задачу:

Представим себе некоторую операцию О, состоящую из ряда последовательных "шагов" или этапов, например, деятельность отрасли промышленности в течение ряда хозяйственных лет. Пусть число шагов равно m. Выигрыш (эффективность операции) Z за всю операцию складывается из выигрышей на отдельных шагах:

где zi- выигрыш на i-м шаге.

Если Z обладает таким свойством, то его называют аддитивным критерием.

Операция О является управляемым процессом, то есть мы можем выбирать какие-то параметры, которые влияют на его ход и исход, причем на каждом шаге выбирается решение, от которого зависит выигрыш и на данном шаге, и выигрыш за операцию в целом. Эти решения называются шаговыми.

Совокупность всех шаговых управлений является управлением операцией в целом. Обозначим его буквой х, а шаговые управления- буквами х1, х2, ... , хm: х=х(х1, х2, ... , хm). Требуется найти такое управление х, при котором выигрыш Z обращается в максимум:

То управление х*, при котором этот максимум достигается, называется оптимальным управлением. Оно состоит из совокупности оптимальных шаговых управлений: х*=х*(х1*, х2*, ... , хm*).

Максимальный выигрыш, который достигается при этом управлении, обозначим следующим образом:
,

где Х- множество допустимых (возможных) управлений.

Самый простой способ решения задачи- полный перебор всех вариантов. Когда количество вариантов невелико, этот способ вполне приемлем. Однако на практике задачи с небольшим числом вариантов встречаются весьма редко, поэтому полный перебор, как правило, неприемлем из-за чрезмерных затрат вычислительных ресурсов. Поэтому в таких случаях на помощь приходит динамическое программирование.

Динамическое программирование часто помогает решить задачу, переборный алгоритм для которой потребовал бы очень много времени. Этот метод использует идею пошаговой оптимизации. В этой идее есть принципиальная тонкость: каждый шаг оптимизируется не сам по себе, а с "оглядкой на будущее", на последствия принимаемого "шагового" решения. Оно должно обеспечить максимальный выигрыш не на данном конкретном шаге, а на всей совокупности шагов, входящих в операцию.

Метод динамического програмирования может применяться только для определенного класса задач. Эти задачи должны удовлетворять таким требованиям:

Задача оптимизации интерпретируется как n-шаговый процесс управления.
Целевая функция равна сумме целевых функций каждого шага.
Выбор управления на k-м шаге зависит только о состояния системы к этому шаге, не влияет на предшествующие шаги (нет обратной связи).
Состояние sk после k-го шага управления зависит только от предшествующего состояния sk-1и управления xk (отсутствие последействия).
На каждом шаге управление Xk зависит от конечного числа управляющих переменных, а состояние sk- от конечного числа параметров.

В основе решения всех задач динамического программирования лежит "принцип оптимальности" Беллмана , который выглядит следующим образом:

Каково бы ни было состояние системы S в результате какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный.

Этот принцип впервые был сформулирован Р. Беллманом в 1953 г. Беллманом четко были сформулированы и условия, при которых принцип верен. Основное требование- процесс управления должен быть без обратной связи, т.е. управление на данном шаге не должно оказывать влияния на предшествующие шаги.

Принцип оптимальности утверждает, что для любого процесса без обратной связи оптимальное управление таково, что оно является оптимальным для любого подпроцесса по отношению к исходному состоянию этого подпроцесса. Поэтому решение на каждом шаге оказывается наилучшим с точки зрения управления в целом.

Самый простой способ решения задачи – полный перебор всех вариантов. Когда количество вариантов невелико, этот способ вполне приемлем. Однако на практике задачи с небольшим числом вариантов встречаются весьма редко, поэтому полный перебор, как правило, неприемлем из-за чрезмерных затрат вычислительных ресурсов. Поэтому в таких случаях на помощь приходит динамическое программирование.

Метод динамического программирования может применяться только для определенного класса задач. Эти задачи должны удовлетворять таким требованиям:

· задача оптимизации интерпретируется как n-шаговый процесс управления;

· целевая функция равна сумме целевых функций каждого шага;

· выбор управления на k-м шаге зависит только от состояния системы к этому шагу, не влияет на предшествующие шаги (нет обратной связи);

· состояние s k после k-го шага управления зависит только от предшествующего состояния s k-1 и управления x k (отсутствие последействия);

· на каждом шаге управление X k зависит от конечного числа управляющих переменных, а состояние s k – от конечного числа параметров.

В основе решения всех задач динамического программирования лежит "принцип оптимальности" Беллмана, который выглядит следующим образом:

каково бы ни было состояние системы S в результате какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный.

Этот принцип впервые был сформулирован Р.Беллманом в 1953 г. Беллманом четко были сформулированы и условия, при которых принцип верен. Основное требование – процесс управления должен быть без обратной связи, т.е. управление на данном шаге не должно оказывать влияния на предшествующие шаги.

Общая постановка классической задачи распределения инвестиций.

Рассмотрим общую постановку динамической задачи распределения инвестиций.

Для развития выделены капитальные вложения в размере S. Имеется n объектов вложений, по каждому из которых известна ожидаемая прибыль fi(x), получаемая от вложения определенной суммы средств. Необходимо распределить капитальные вложения между n объектами (предприятиями, проектами) таким образом, чтобы получить максимально возможную суммарную прибыль.

Для составления математической модели исходим из предположений:

· прибыль от каждого предприятия (проекта) не зависит от вложения средств в другие предприятия;

· прибыль от каждого предприятия (проекта) выражается в одних условных единицах;

· суммарная прибыль равна сумме прибылей, полученных от каждого предприятия (проекта).

Данная постановка является упрощенной моделью реального процесса распределения инвестиций, и в "чистом" виде не встречается, так как не учитывает некоторые факторы, а именно:

· наличие "неформальных" критериев, т.е. тех, которые невозможно измерить количественно (например, согласованность проекта с общей стратегией предприятия, его социальный, либо экологический характер и т.д.), в связи с чем проекты могут иметь различный приоритет;

· уровень риска проектов;

· другие факторы.

В связи с необходимостью учета уровня риска при формировании инвестиционного портфеля появилось стохастическое динамическое программирование, которое имеет дело с вероятностными величинами. Оно нашло применение в различных областях, среди которых одной из наиболее широко исследуемых является управление рисковыми финансовыми инвестициями.

Другое